|
|
||||||||||||
Утверждено Министерством Образования Физико-Математический Лицей Игнатенко - ФМЛИ М А Т Е М А Т И К А Часть 1 Алгебраические тождества. Линейные уравнения. Квадратные уравнения. Теорема Виета. Уравнения высших степеней. Понятие модуля. Уравнения с модулем. Параметрические уравнения. Дополнения из Лекций А.В.Игнатенко В.А.Игнатенко. Авторы : Игнатенко В.А.– директор РУМЦ Кутасов А.Д. – к.ф-м.н., доцент МФТИ Пиголкина Т.А.– к.ф-м.н., доцент МФТИ Чехлов В.И. – к.ф-м.н., доцент МФТИ Яковлева Т.Х. – старший преподаватель МФТИ Под редакцией В.А.Игнатенко Содержание Части 1 : (Все параграфы содержат домашнее задание) § І. Введение. Из Лекций Игнатенко (А.В.Игнатенко, В.А.Игнатенко). § 2. Тождественные преобразования рациональных выражений. § 3. Тождественные преобразования иррациональных выражений. Задачи. § 4. Уравнения и правила их преобразований. § 5. Уравнения высших степеней. § 6. Решение дробных рациональных уравнений. § 7. Решение уравнений с модулем. § 8. Решение уравнений с параметрами. Методы и логика решения любых задач с параметрами. Суть всех задач на параметры. § 9. Домашние задания. Задачи для самостоятельного решения. Ответы. Приглашаем всех учащихся 8-11-х классов решить 10-15 задач из задания, данного в конце параграфа,
отсканировать и направить нам на проверку в качестве первого задания по математике. Учащимся физико-математических школ рекомендуем решить максимум задач задания. В «Теме» письма укажите «ФМЛИ, Задание М-1А». В.А.Игнатенко А.В.Игнатенко Занятие второе. § 2 . Тождественные преобразования рациональных выражений. Выражения вида , называются числовыми выражениями. Выражения вида , , называют выражениями с переменой . Выражения могут содержать и несколько переменных, например: , . Значения переменных, при которых выражение имеет смысл, т.е. выполнимы все указанные действия, называются допустимыми значениями переменных. Например, выражение , определено при любых значениях переменных и , т.е. любые значения переменных и являются допустимыми. Выражение определено при любых значениях переменных и , кроме случая , т.е. определено кроме случая, когда . Два выражения (числовые или с переменными), соединенные знаком , называются равенством. Равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных, называют тождеством (или тождественным равенством). Замену одного выражения другим, ему тождественно равным, называют тождественным преобразованием или просто преобразованием выражения. Примерами тождественных преобразований являются "формулы сокращенного умножения": 1. . 2. . 3. . 4. . 5. . 6. . 7. . 8. . 9. . 10. . Для напоминания добавим еще несколько формул: 11. , при (когда знаменатель не равен нулю, т.е. при ) 12. . 13. . 14. . Из лекций А.В.Игнатенко и В.А.Игнатенко: Замечания. Формулы и часто школьникам неизвестные. Но они очень нужные. Увидим это уже в данном параграфе. Особенно потребуются и для решения различных систем уравнений, и в тригонометрии, и т.д. В системах, когда нужно будет проводить преобразования для введения замены и - в симметричных системах уравнений. (Например: . Подробно в Части 2). И в тригонометрии – они ведут к важным упрощениям. Например: Обратите внимание! Также мало известный ход. В формулах и входящую в них суммы квадратов часто нам придется переписывать, используя формулу , в виде: Опять-таки, эти формулы потребуются и при решении различных систем уравнений повышенной сложности, и при решении других задач. Так что без них не обойтись. Продолжаем. Выражения, составленные из чисел и переменных с помощью конечного числа знаков арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, деления) называются рациональными выражениями. Рациональное выражение называется целым, если оно не содержит деления на выражение с переменными. Примерами целых выражений являются одночлены и многочлены, например: , , . Примером тождественных преобразований является разложение многочлена на множители. Разложить многочлен на множители означает представить его в виде произведения множителей. При разложении многочлена на множители используют метод вынесения общего множителя за скобки и метод группировки, а также используют "формулы сокращённого умножения". В §4 выведена формула разложения на множители квадратного трёхчлена , а именно: , где и - корни квадратного трехчлена. Например, квадратный трехчлен имеет корни и (находим корни по формуле ), и поэтому для любого верно равенство . Из лекций А.В.Игнатенко и В.А.Игнатенко: Замечания. Задача. Разложить на множители . Задачу можно решить и методом группировки; и по формуле; - как квадратное выражение относительно х: . Корни нашли по формуле для корней квадратного уравнения: Решение методом группировки здесь проще. Данный пример не сложный – как раз для метода группировки. Другой пример. Задача. Разложить на множители выражение: . Попытайтесь решить вначале самостоятельно. Обычно пытаются решить пример стандартным образом – группируя и вынося общие множители. Сколько сил и времени часто требует такой путь! А пример простой и на технику: . Этот метод разложения очень пригодится и в других разделах. Например. Вам дают сложнейшую систему уравнений. Одно из уравнений такое: . Точнее, вот такое: - обратите внимание, как поступают экзаменаторы: многое берут из других разделов. Второе уравнение системы еще сложнее: Но решение – на пять минут. Только разложили первое уравнение на множители и система решена: откуда получаем два случая: и . Осталось только подставить. Решением систем мы займемся позже. Этот материал в Части 2. Продолжаем. Пример 1. Разложить на множители многочлен . Группируя и вынося общий множитель в каждой группе за скобку, получаем: . Пример 2. Разложить на множители многочлен . Введем замену: , тогда получим: . ( Выражение на множители не раскладывается, т.к. D?0 ). Ответ: . Пример 3. Разложить на множители многочлен . Перемножив первый множитель с последним, а второй - с третьим, получим: . Далее вводим замену . Закончите самостоятельно, аналогично предыдущему примеру № 2. Ответ: . Пример 4. Разложить на множители многочлен . Имеем: . Если корень многочлена степени, то , где - многочлен степени (см. § 5). Пример 5. Разложить на множители многочлен . Легко проверяется, что число является корнем многочлена . Значит, один из множителей будет . Выделим множитель : . Многочлен не раскладывается на множители, так как он не имеет корней (поскольку D?0). Следовательно, окончательно имеем . Пример 6. Разложить на множители многочлен . Сгруппируем члены многочлена и вынесем общий множитель в каждой группе за скобку: . Выносим за скобку . и воспользуемся формулой . Окончательно получим . Упрощение выражений Рациональное выражение, в котором имеется операция деления на выражение с переменными называется дробным рациональным выражением. Например, выражения , являются дробными рациональными выражениями. Любое дробное рациональное выражение можно преобразовать в дробь, у которой числитель и знаменатель - некоторые многочлены. Для этого используют правило сокращения дробей и правила сложения, вычитания, умножения и деления дробей. При преобразовании (упрощении) выражений сначала производят действия умножения и деления, а затем - сложения и вычитания. Если в выражении имеются скобки, то сначала выполняют действия в скобках. Обязательно необходимо указывать область допустимых значений переменных ( ОДЗ ). Т.е. при каких именно значениях переменных исходное выражение имеет смысл. Значит и имеет смысл производимое нами упрощение или преобразование. Нарушение этого требования является грубейшей ошибкой и всю работу делает бессмысленной. Ведь без указанной области допустимых значений переменных пользоваться полученным ответом нельзя. Пример 7. Упростить выражение . Решение. Напомним важнейшее требование при упрощениях. Чтобы одно выражение заменить тождественно ему равным (т.е. произвести тождественное преобразование) необходимо изначально установить область допустимых значений переменных, на которой это преобразование будет иметь смысл. А значит, будет действительной замена исходного выражения тождественно ему равным. При всех допустимых значениях переменных и , таких, чтобы , т.е. при , имеем: . Следовательно, получаем при . Ответ: при . Пример 8. Упростить выражение . Найдем ОДЗ переменных входящих в исходное выражение. Исходное выражение имеет смысл (его можно вычислить) при условии, если выполняются все следующие требования: , т.е. для всех , не равных ,,. Итак, ОДЗ: , , . Преобразуем теперь данное нам дробное выражение. Чтобы сложить дроби в скобках, найдём общий знаменатель этих дробей. Так как и , то общим знаменателем дробей, стоящих в скобках, будет . Сложим эти дроби . Многочлен раскладывается на множители , так как квадратное уравнение имеет корни и . После умножения полученной дроби на дробь получаем дробь . Теперь вычитаем из этой дроби дробь , получаем: . Таким образом, данное выражение тождественно равно выражению для всех допустимых значений , т.е. для всех , не равных ,,. Ответ: при , , . Решения предыдущих примеров мы писали подробно со всеми объяснениями только ради ясности для читателя. Столь подробно это делать на вступительных экзаменах не нужно. Да и лучше избегать ненужных «длинных» фраз. Так надежнее, чтобы уберечься от случайных словесных ошибок в определениях, в терминологии и т.п. Еще раз напомним, что в задачах на упрощение обязательно нужно находить область допустимых значений (ОДЗ) для всех переменных входящих в выражение. Если ограничений на значения переменной нет, то для этой переменной просто принято ОДЗ не указывать. Обратите внимание, что в примере №20 одним из условий ОДЗ нужно записать а2+3b2?0, что возможно при условии: а?0 и b?0 – одновременно. (Подробно решения примеров вида а2+3b2=0 рассматриваются в Части 2.) Это условие на языке математических символов можно кратко записать и так: а2+3b2 0 (a;b) (0;0) . Домашнее задание. Разложить на множители ( 5 –17 ): Упростить ( 18 - 30 ): Это только один из самых первых параграфов Части 1 «Математики». Каждый следующий параграф более насыщенный и важный. Особенно последний параграф по параметрам – основа всех задач на параметры. Каждый последующий материал основывается на предыдущем. Будьте внимательны, трудитесь прилежно и с осмыслением. После работы над первой частью, математика станет для вас более простой и понятной. Даже теорема Виета и та неточно сформулирована в школьных учебниках – бездумно перенесена с высшей математики. И тут же – масса недоразумений и проблем на экзаменах!... Похожие проблемы также и с модулями. В очередных параграфах вы это увидите. Выход окажется простейший. И все задачи становятся простыми! В.А.Игнатенко А.В.Игнатенко