Ребусы и задачи на смекалку   

1. Четыре кота — Васька, Пушок, Базилио и Леопольд — охотились на мышей. Пушок с Леопольдом поймали вместе столько же мышей, сколько Базилио с Васькой. Васька поймал мышей больше, чем Базилио, но Васька с Леопольдом поймали мышей меньше, чем Пушок с Базилио. Сколько мышей поймал каждый кот, если Пушок поймал 3 мыши?    2. Решите арифметический ребус, изображенный на рисунке. Одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным — разные.     3. В равнобочной трапеции провели диагонали и высоты из вершин верхнего основания (см. рисунок). Докажите, что сумма площадей синих треугольников равна площади красного пятиугольника.     4. Мимо моего дома проходят три автобусных маршрута. Их номера — трехзначные числа, причем все они — квадраты. Более того, они записываются одними и теми же тремя цифрами. Какие номера у автобусов?     5. На шахматной доске расставлено 15 фигур так, что в каждом горизонтальном и в каждом вертикальном ряду стоит хотя бы одна фигура. Докажите, что с доски можно убрать одну фигуру так, что оставшиеся фигуры будут вновь удовлетворять тому же требованию: в каждом горизонтальном ряду и в каждом вертикальном ряду стоит хотя бы одна фигура.        Эти задачи предложили С. Ляшенко, А. Алексеев, И. Нагель, А. Джафаров и. В. Произволов.                 (Журнал "Квант")

Решение задачи 1.

Еще раз, условие задачи.

Четыре кота — Васька, Пушок, Базилио и Леопольд — охотились на мышей. Пушок с Леопольдом поймали вместе столько же мышей, сколько Базилио с Васькой. Васька поймал мышей больше, чем Базилио, но Васька с Леопольдом поймали мышей меньше, чем Пушок с Базилио. Сколько мышей поймал каждый кот, если Пушок поймал 3 мыши? 

Решение.

Важным, ключевым моментом является то, что неизвестные числа могут быть только целыми: 0, 1, 2, 3, ...  —  количество пойманных мышей. Это основа. Остальное - уже простейшее дело. Обычная арифметика и элементарная техника решения задач. Итак, решаем задачу.

Пусть кот Васька поймал Х мышей,  Пушок по условию поймал 3 мыши, Базилио -   Y мышей, Леопольд -   Z.   ( Еще раз отметим, что  X, Y, Z = 0, 1, 2, 3, ...   - целые числа.) Запишем условие нашей задачи с помощью X, Y и  Z.

Получаем систему:       3 + Z = X + Y , 

                                     X > Y ,  

                                     X + Z < 3 + Y .

Из первого уравнения находим  Y = 3 + Z – X  и подставляем выражение  3 + Z – X  во второе и третье неравенства вместо Y (другими словами, исключим Y из второго и третьего неравенств).

Получим:                       2X > 3 + Z  ,   

                                       X < 3  . 

Из неравенства  2X > 3 + Z  следует, что  X > 3/2 + Z/2 ≥ 1,5 ,

                                     т.е. должно быть  X > 1,5 .

Итак,  получили   1,5 < X < 3 .    Х - целое, следовательно  X = 2 .

Тогда из условия  2X > Z + 3   получаем:

   Z < 2X – 3 = 4 – 3 = 1 , т.е.  Z < 1 ,  следовательно   Z = 0 .    

И находим   Y = 3 + Z – X = 3 + 0 – 2 = 1.

   Ответ:  2, 3, 1, 0.

Вообще, эта задача из разряда устных. Только в начале полезно поработать с учебниками нашего Лицея и развить навыки и технику классного математика (авторы: две кафедры МФТИ, Московского физико-технического института). Часть учебников ежегодно мы высылаем школьникам для самостоятельной подготовки. Можно поступить на дистанционное и онлайн обучение и учиться у авторов учебников. Прием учащихся в ФМЛИ ограниченный.

   Рекомендуем лекцию:   Вычисление дробей

   Для новых учащихся:   Задание по математике